Элективный курс "Черчение". 10-11 кл.


1. Содержание и задачи курса начертательной геометрии.

Трудно указать такой вид человеческой деятельности, где, решая ту или иную техническую или нетехническую задачу, не приходилось бы прибегать к помощи изображений машин и механизмов, планов строений и т.п.
К. Маркс указывал, что всякий процесс труда человека заканчивается результатом, который уже в начале этого процесса имелся в его представлении: "Паук совершает операции, напоминающие операции ткача, и пчела постройкой своих восковых ячеек посрамляет некоторых людей - архитекторов. Но самый плохой архитектор от наилучшей пчелы с самого начала отличается тем, что, прежде чем строить ячейку из воска, он уже построил её в своей голове".
Сколь широка и многогранна деятельность человека, столь и различны требования, предъявляемые к форме и содержанию изображений. Одни из них должны производить на глаз человека такое же впечатление, какое производит и сам изображаемый предмет, иначе говоря, изображение должно обладать достаточной наглядностью. В другом случае изображение должно быть, в первую очередь, геометрически равноценно оригиналу, оно должно давать полную геометрическую и размерную характеристику изображаемого предмета. Этому требованию должен отвечать, например, всякий машиностроительный чертёж.
Наконец, к изображению могут быть предъявлены оба указанных условия одновременно - наглядность изображения должна сочетаться с геометрической равноценностью оригиналу.
Изображения различных предметов и объектов не являются самоцелью, они дают возможность решать инженеру по ним различные технические задачи.
Однако не всякое изображение может быть использовано для решения технических задач. Для этого оно, в первую очередь, должно быть геометрически равноценно изображаемому объекту, то есть, построено по определённому геометрическому закону. Вопросами исследования геометрических основ построения изображений предметов на плоскости, вопросами решения пространственных геометрических задач при помощи изображений занимается одна из ветвей геометрии - НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ.
Начертательная геометрия относится к числу математических наук. Для неё характерна та общность методов, которая свойственна каждой математической науке. Методы начертательной геометрии находят самое широкое применение в объектах изучения самой различной природы: в механике, архитектуре и строительстве, химии, геодезии, геологии, кристаллографии и т.д.
Но наибольшее значение и применение методы начертательной геометрии нашли в различных областях техники при составлении различного вида технических чертежей: машиностроительных, строительных, различного рода карт и т.д. Начертательная геометрия, таким образом, является звеном, соединяющим математические науки с техническими.
Начертательная геометрия входит в группу общетехнических дисциплин, составляющих основу всякого инженерного образования. Она учит грамотно владеть выразительным техническим языком - языком чертежа, умению составлять и свободно читать чертежи, решать при помощи чертежей различные инженерно-технические задачи.
Кроме того, изучение начертательной геометрии способствует развитию у студентов пространственных представлений и пространственного воображения - качеств, характеризующих высокий уровень инженерного мышления и необходимых для решения прикладных задач.
В процессе изучения начертательной геометрии достигаются и другие цели, расширяется общенаучный кругозор студентов, развиваются навыки логического мышления, внимательность, наблюдательность, аккуратность и другие качества, развитие которых является одной из задач обучения и воспитания в высшей технической школе.
Предметом начертательной геометрии (в узком смысле) является изучение теории построения плоских моделей пространств и теории и практики решения пространственных задач на таких плоских моделях.
Цели курса:
  1. Научить пространственно мыслить и отображать на плоскости трёхмерные геометрические образы (фигуры).
  2. Развить способность мысленного восприятия пространственного геометрического образа по его отображению на плоскости, т.е. научить читать чертёж.
    (Таким образом, мы решаем две задачи: прямую и обратную. Объёмный предмет отображаем на плоскости - прямая задача. По плоскому чертежу представляем объёмную форму предмета - обратная задача. Прочесть чертёж - это представить себе пространственное изображение предмета.)
  3. Сообщить знания о методах решения на плоскости пространственных метрических и позиционных задач.

2. Роль русских и советских учёных в разработке и развитии методов изображений.

Сведения и приёмы построений, обуславливаемые потребностью в плоских изображениях пространственных форм, накапливались постепенно с древних времён. В течение продолжительного периода плоские изображения выполнялись как изображения наглядные. С развитием техники первостепенное значение приобрёл вопрос о применении метода, обеспечивающего точность и удобоизмеримость изображений, т.е. возможность точно установить место каждой точки изображения относительно других точек или плоскостей и путём простых приёмов определить размеры отрезков линий и фигур. Постепенно накопившиеся отдельные правила и приёмы построения таких изображений были приведены в систему и развиты в труде французского учёного Монжа, изданном в 1799 году. Изложенный Гаспаром Монжем (1746-1818) метод - метод ортогонального проецирования - обеспечивал выразительность, точность и удобоизмеримость изображений предметов на плоскости, был и остаётся основным методом составления технических чертежей.
Чертёж - язык инженера, начертательная геометрия - грамматика этого языка.
В нашей стране начертательную геометрию начали преподавать с 1810 года в ЛИЖТе - первом ВУЗе страны, только что организованном. Лекции там читал Я.А. Севастьянов (1796-1849), с именем которого связано появление первого оригинального труда под названием "Основания начертательной геометрии" (1821 г.), в основном посвящённого изложению метода Монжа.
Крупный след в развитии начертательной геометрии в России в XIX веке оставили Н.И. Макаров (1824-1904) (адмирал Макаров, погибший в Порт-Артуре) и В.И. Курдюнов (1853-1904).
Если начертательная геометрия как предмет возникла из нужд практики и в середине XIX века она расширила свои разделы, то к началу XX века аналитические методы, применённые в начертательной геометрии, вышли на первый план, точность графических методов не удовлетворялась и начертательная геометрия пошла на убыль. Последними книгами были книги Н.А. Рышина (1877-1942) и В.О. Гордона.
С появлением трудов Н.Ф. Четверухина (1891-1973) начертательная геометрия была выведена из застоя. Н.Ф. Четверухин стал рассматривать начертательную геометрию как самостоятельную науку (не связанную с черчением). Он первый увидел, что методами начертательной геометрии можно решать сложные конструктивные задачи. Появилась "Прикладная геометрия" и начался её расцвет. За период с конца 40-х годов начертательная геометрия развивалась и расширялась. В науке большая роль принадлежит И.И. Котову (1905-1975) и его ученикам. После смерти Н.Ф. Четверухина начался процесс сокращения часов по начертательной геометрии и произошел застой. В 1982 г. вопрос в ВАКе был решён положительно и предмет восстановлен.
Центральное и параллельное проецирование
Центральное проецирование.
Центральное проецирование - наиболее общий случай полученияпроекций геометрических фигурСущность его состоит вследующем:
  
Рис.1
Пусть даны плоскость (тэтаи точка S (рис.1). Возьмём впространстве произвольную точку A, причём A S A S. Намнужно построить центральную проекцию точки АДля этогочерез заданные точки S и A проведём луч [SA).Центральной проекцией точки А будет точка пересечениялуча [SA) с плоскостью .
[SA) = A
Плоскость называют плоскостью проекцийточку S - центромпроекцииполученную точку A - центральной проекцией точки Ана плоскость , [SA ) - проецирующим лучом.
Аппарат центрального проецирования заданесли заданоположение плоскости проекций и центра проекций S. Еслиаппарат проецирования заданто всегда можно определитьположение центральной проекции любой точки пространства наплоскости проекций.
НапримерДана точка B. Проведём проецирующий луч [SB) иопределим точку встречи его с плоскостью . Это и естьцентральная проекция B точки B при заданном аппаратепроецирования ( ,S).
Если точка С расположена такчто проецирующий луч [SС) , тоон пересечёт плоскость проекций в несобственной точке С .
При заданном аппарате проецирования ( ,S) каждая точкапространства будет иметь одну и только одну центральнуюпроекцию (т.кчерез две различные точки можно провести однуи только одну прямую). Обратное утверждение не имеет смысла,так как точка A может быть центральной проекцией любой точки,принадлежащей прямой (A S) (Например центральные проекцииточек A и D совпадают).
Отсюда следуетчто одна центральная проекция точки неопределяет положение точки в пространстве.
  
Рис.2
Для определения положения точки в пространственеобходимо иметь две центральные проекции точки,полученные из двух различных центров проецирования(рис.2).
Достоинство центрального проецирования - наглядность.Недостаток - степень искажения изображения зависит отрасстояния центра проекций до плоскости проекцийпоэтомуцентральное проецирование неудобно для простановкиразмеров.
В машиностроительном черчении применяется параллельноепроецирование.
3.2 Параллельное проецирование.
Параллельное проецирование является частным случаемцентрального проецированиякогда центр проекций лежит внесобственной точке S , поэтому все проецирующие лучипараллельны.
  
Рис.3
Аппарат параллельного проецирования заданесли заданоположение плоскости проекций и направлениепроецирования S.
Все свойства центрального проецирования справедливы дляпараллельного проецирования:
  1. 1.     При задании аппарата параллельного проецированиякаждая точка пространства имеет одну и только однупараллельную проекциюОбратное утверждение не имеетместа.
  2. 2.     Для задания точки в пространстве необходимо иметьдве её параллельные проекцииполученные при двухразличных направлениях проецирования.
Параллельное проецирование делится на:
  • Прямоугольное - =90° ( - угол падения проецирующего лучак плоскости проекций).
  • Косоугольное - 90°.
Основные инвариантные (независимыесвойствапараллельного проецирования.
При параллельном проецировании нарушаются метрическиехарактеристики геометрических фигур (происходит искажениелинейных и угловых величин), причём степень нарушениязависит как от аппарата проецированиятак и от положенияпроецируемой геометрической фигуры в пространстве поотношению к плоскости проекции.
  
Рис.4
Пример:
(A,B,C,D)
|AB| |A B |, |BC| |B C | 
и т.д.
|DAB| |D A B |, |ABC| |A B C | 
и т.д.
Но наряду с этиммежду оригиналом и его проекциейсуществует определённая связьзаключающаяся в томчтонекоторые свойства оригинала сохраняются и на его проекции.Эти свойства называются инвариантными (проективнымидляданного способа проецирования.
В процессе параллельного проецирования (получения проекцийгеометрической фигуры по её оригиналуили реконструкциичертежа (воспроизведения оригинала по заданным егопроекциямлюбую теорему можно составить и доказать,базируясь на инвариантных свойствах параллельногопроецированиякоторые в начертательной геометрии играюттакую же ролькак аксиомы в геометрии.
Следовательноможно утверждатьчто в начертательнойгеометрии существуют две системы аксиом:
  • одна система используется при параллельномпроецировании - это суть инвариантные свойствапараллельного проецирования.
  • другая система используетсякогда проекции построены ирешается плоская задача (задача на плоскости) - этоаксиомы евклидовой геометрии.
Отсюда яснонасколько важно выяснить и хорошо усвоить этиинвариантные свойства.

1. Проекция точки есть точка.
  
2. Проекция прямой линии на плоскость есть прямая линия.
  
(Для всех прямых l, не параллельных направлениюпроецированияпроекция прямой есть прямая.)
3. Если в пространстве точка инцидентна (принадлежитлинии,то проекция этой точки принадлежит проекции линии.
  
СледствиеЕсли прямые пересекаются в точке K, то проекциипрямых пересекаются в проекции точки - K .
4. Проекции взаимно параллельных прямых также взаимнопараллельны.
  
5. Отношение отрезков прямой равно отношению проекций этихотрезков.
  
6. Если плоская фигура параллельна плоскости проекцийто наэту плоскость она проецируется в конгруэнтную фигуру.
При параллельном переносе плоскости проекций величинапроекций не изменитсяследовательномы можем не рисоватьположение плоскости проекций.

Для построения обратимого чертежа необходимо иметь двевзаимосвязанные проекции оригинала.
Поэтому только прямоугольное (ортогональноепроецирование,по крайней мерена две взаимно перпендикулярных плоскостипроекций является основным методом построения техническогочертежа (метод Монжа).
Ортогональное (прямоугольноепроецирование обладает рядомпреимуществ перед центральным и параллельным(косоугольнымпроецированием.
К ним в первую очередь следует отнести:
  • простоту геометрических построений для определенияортогональных проекций точек
  • возможность при определённых условиях сохранять напроекциях форму и размеры оригинала.
3. Сопряжение
Сопряжение. 
 Сопряжение- плавный переход одной линии в другую.
    
                        Сопряжение пересекающихся прямых дугой окружности заданного радиуса.
           Задача сводится к проведению окружности, касающейся обеих заданных прямых линий.

   Вариант 1.

  Проводим вспомогательные прямые параллельно заданным на расстоянии  R от заданных.
  Точка пересечения этих прямых будет центром О дуги сопряжения. Перпендикуляры, опущенные из центра О на       
  заданные прямые, определят точки касания К и К1.

                                                    alt
                                                   Сопряжения. Построение сопряжения линий.

   Вариант 2.

  Построение такое же.

                                            alt
                                           Сопряжения. Построение сопряжения линий.

   Вариант 3.

  Если требуется провести окружность, чтобы она касалась трех пересекающихся прямых линий, то в этом случае
 радиус не может быть задан условиями задачи. Центр О окружности находится на пересечении биссектрис углов
 В и С. Радиусом окружности является перпендикуляр, опущенный из центра О на любую из 3-х заданных прямых
 линий.

                                                   alt
                                                  Сопряжения. Построение сопряжений линий.

          Построение внешнего сопряжения данной окружности с данной прямой дугой заданного радиусаR1.

  Из центра О данной окружности проводим дугу вспомогательной окружности радиусом R+R1.
  Проводим прямую параллельно заданной на расстоянии R1.
  Пересечение прямой и  вспомогательной дуги даст точку центра дуги сопряжения О1.
  Точка касания дуг К лежит на линии ОО1.
  Точка касания дуги и линии К1 лежит на пересечении перпендикуляра из точки О1 на прямую с дугой.

                                              alt
                                             Сопряжения. Построение внешнего сопряжения окружности с прямой.

   Построение внутреннего сопряжения данной окружности с  данной прямой дугой заданного радиусаR1.

  Из центра О данной окружности проводим  вспомогательную окружность радиусом R- R1.
  Дальше см. предыдущие построения.


                                               alt
                                              Сопряжения. Построение внутреннего сопряжения окружности с прямой.

          Построение сопряжения двух данных окружностей дугой заданного радиуса R3.

  Внешнее касание.

  Из центра окружности О1 описываем дугу вспомогательной окружности радиусом R1+R3.
  Из центра окружности О2 описываем дугу вспомогательной окружности радиусомR2+R3.
  Пересечение дуг вспомогательных окружностей даст точку О3, которая является центром дуги сопряжения
  (окружности с радиусом R3).
  Точки касания К1 и К2 находятся на линиях О1О3 и О2О3.

                                               alt
                                              Сопряжения. Сопряжение двух окружностей дугой.

  Внутреннее касание

  Из центра окружности О1 описываем дугу вспомогательной окружности радиусом R3-R1.
  Из центра окружности О2 описываем дугу вспомогательной окружности радиусом R3- R2.
  Пересечение дуг вспомогательных окружностей даст точку, которая является центром дуги сопряжения
  (окружности с радиусом R3).

                             alt
                            Сопряжения. Сопряжение двух окружностей дугой.

  Внешнее и внутреннее касание.
  Заданы две окружности с центрами О1 и О2 с радиусами r1 и r2Необходимо провести окружность заданного
  радиуса так, чтобы обеспечить с одной окружностью внутреннее касание, а с другой - внешнее.

  Из центра окружности О1 описываем дугу вспомогательной окружности радиусом R-r1.
  Из центра окружности О2 описываем дугу вспомогательной окружности радиусомR+r2.
  Пересечение дуг вспомогательных окружностей даст точку, которая является центром дуги сопряжения
  (окружности с радиусом R).

                                           alt
                                          Сопряжения. Сопряжение двух окружностей дугой.

          Построение окружности, проходящей через заданную точку А и касающейся данной окружности
          в заданной точке В.

  Находим середину прямой линии АВ. Через середину линии АВ поводим перпендикуляр. Пересечение продолжения
  линии ОВ и перпендикуляра дает точку О1. О1 - центр искомой окружности с радиусом R = O1B = O1A.

                                                alt
                                               Сопряжения. Внутреннее касание окружности и дуги.

          Построение сопряжения окружности с прямой линией в заданной на прямой точке А.

  Из заданной точки А линии LM восстанавливаем перпендикуляр к прямой линии LM. На продолжении
  перпендикуляра откладываем отрезок АВАВ = R. Соединяем точку В с центром окружности О1 прямой.
  Из точки А проводим прямую линию параллельно ВО1 до пересечения с окружностью. Получим точку К - точку
  касания. Соединим точку К с центром окружности О1. Продлим линии О1К и АВ до пересечения. Получим точку
  О2, которая является центром дуги сопряжения с радиусом О2А = О2К.

                                         alt
                                        Сопряжения. Сопряжение окружности с прямой в заданной точке.

          Построение сопряжения окружности с прямой линией в заданной на окружности точке А.

  Внешнее касание.
  Проводим касательную к окружности через точку А. Пересечение касательной с прямой линией LM даст точку В.
  Делим угол, образованный касательной и прямой линией LMпополам. Пересечение биссектрисы угла и
  продолжения радиуса ОА даст точку О1О1 - центр дуги сопряжения с радиусом О1А = О1К.


                                                alt
                                               Сопряжения. Сопряжение окружности с прямой в заданной точке на окружности.

   Внутреннее касание.
  Проводим касательную к окружности через точку А. Пересечение касательной с прямой LM даст точку В.
  Делим угол, образованный касательной и прямой линией LMпополам. Пересечение биссектрисы угла и
  продолжения радиуса ОА даст точку О1О1 - центр дуги сопряжения с радиусом О1А = О1К.

                                                alt
                                               Сопряжения. Сопряжение окружности  с прямой в заданной точке на окружности.

          Построение сопряжения двух неконцентрических дуг окружностей дугой заданного радиуса.

   Проводим из центра дуги О1 вспомогательную дугу радиусом R1-R3. Проводим из центра дуги О2 вспомогательную
  дугу радиусом R2+R3. Пересечение дуг даст точку О. О - центр дуги сопряжения с радиусом R3. Точки касания
  К1 и К2 лежат на линиях ОО1 и ОО2.

                                                alt
                                               Сопряжения. Сопряжение 2-х неконцентрических дуг окружностей дугой.

          Построение лекальной кривой подбором дуг.

  Подбирая  центры дуг, совпадающих с участками кривой, можно циркулем вычертить любую лекальную кривую.
  Для того чтобы дуги плавно переходили одна в другую, необходимо, чтобы точки их сопряжения (касания)
  находились на прямых линиях, соединяющих центры этих дуг.
  Последовательность построений.
  Подбираем центр 1 дуги произвольного участка ab.
  На продолжении первого радиуса подбираем центр 2 радиуса  дуги участка bc.
  На продолжении второго радиуса подбираем центр 3 радиуса  дуги участка cd и т. д.
  Так строим всю кривую.


                                                alt
                                               Сопряжения. Подбор дуг.

          Построение сопряжения двух параллельных прямых двумя дугами.

  Заданные на прямых параллельных линиях точки А и В соединяем линией АВ.
  Выбираем на прямой АВ произвольную точку М.
  Делим отрезки АМ и ВМ пополам.
  Восстанавливаем в серединах отрезков перпендикуляры.
  В точках А и В, заданных прямых, восстанавливаем перпендикуляры к прямым.

  Пересечение соответствующих перпендикуляров даст точки О1 и О2.
  О1 центр дуги сопряжения с радиусом О1А = О1М.
  О2 центр дуги сопряжения с радиусом О2В = О2М.
  Если точку М выбрать на середине линии АВ, то радиусы дуг сопряжения будутравны.
  Касание дуг в точке М, находящейся на линии О1О2.

                                               alt
                                              Сопряжения. Сопряжение параллельных прямых двумя дугами.

Комментариев нет:

Отправить комментарий